Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^3+4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x^2+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot 2^2+4$

= $-6\cdot 4+4$

= $-24+4$

= $-20$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-20$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot 2^3+4\cdot 2$ = $-2\cdot 8+8$ = $-16+8$ = $-8$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-8$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-8$ = $-20$⋅ $2$ + c

$-8$ = $-40$ + c | + $40$

$32$ = c

also c= $32$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-20$⋅x + $32$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^2-\frac{1}{3}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4x-\frac{1}{3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $4\cdot 1-\frac{1}{3}$

= $4-\frac{1}{3}$

= $\frac{12}{3}-\frac{1}{3}$

= $\frac{11}{3}$

≈ 3.67

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{11}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2\cdot 1^2-\frac{1}{3}\cdot 1$ = $2\cdot 1-\frac{1}{3}$ = $2-\frac{1}{3}$ = $\frac{6}{3}-\frac{1}{3}$ = $\frac{5}{3}$ ≈ 1.67

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $\frac{5}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{5}{3}$ = $\frac{11}{3}$⋅ $1$ + c

$\frac{5}{3}$ = $\frac{11}{3}$ + c | $-\frac{11}{3}$

$-2$ = c

also c= $-2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{11}{3}$⋅x $-2$ oder y=3.67x -2

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^2-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x+0$

= $6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $6\cdot \left(-1\right)$

= $-6$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{6}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{6}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot {\left(-1\right)}^2-2$ = $3\cdot 1-2$ = $3-2$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $\frac{1}{6}$⋅( $-1$) + c

$1$ = $-\frac{1}{6}$ + c | + $\frac{1}{6}$

$\frac{7}{6}$ = c

also c= $\frac{7}{6}$ ≈ 1.17

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{6}$⋅x + $\frac{7}{6}$ oder y=0.17x +1.17

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-x$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x^3-1$

f'(-1) = $2\cdot {\left(-1\right)}^3-1$ = $2\cdot \left(-1\right)-1$ = $-2-1$ = $-3$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan( $-3$)) ≈ -71.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+9x-4$ ab:

f'(x) = $3x+9$

Es muss gelten:

$3x+9$	=	$-3$	| $-9$
$3x$	=	$-12$	|:$3$
$x$	=	$-4$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -4.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2+2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+0$

= $-6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot 1$

= $-6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot 1^2+2$ = $-3\cdot 1+2$ = $-3+2$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = $-6$⋅ $1$ + c

$-1$ = $-6$ + c | + $6$

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-6$⋅x + $5$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-6x+5$

$-6x+5$	=	0	| $-5$
$-6x$	=	$-5$	|:($-6$)
$x$	=	$\frac{5}{6}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{5}{6}$ ≈ 0.83.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $5-\frac{1}{8}{t}^3$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{3}{8}{t}^2$

= $-\frac{3}{8}{t}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(2)}=$ $-\frac{3}{8}\cdot 2^2$

= $-\frac{3}{8}\cdot 4$

= $-\frac{3}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{3}{2}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $5-\frac{1}{8}\cdot 2^3$ = $5-\frac{1}{8}\cdot 8$ = $5-1$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $-\frac{3}{2}$⋅2 + c

$4$ = $-3$ + c | + $3$

$7$ = c

also c= $7$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{3}{2}$⋅t + $7$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{3}{2}t+7$

$-\frac{3}{2}t+7$	=	0	|⋅ 2
$2\left(-\frac{3}{2}t+7\right)$	=	0
$-3t+14$	=	0	| $-14$
$-3t$	=	$-14$	|:($-3$)
$t$	=	$\frac{14}{3}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{14}{3}$ ≈ 4.67.