Beim Dividieren durch 10 muss man ja einfach nur das Komma um 1 Stelle (Anzahl der Nullen von 10) nach links verschieben:

398,9 : 10

= 39,89

Da das Komma durch das Multiplizieren um 3 Stellen nach rechts verschoben wurde, muss die gesuchte Zahl 3 Nullen haben, also 1000 :

Probe: 670,06 · 1000 = 1000

Wir multiplizieren erst mal die ganzen Zahlen 3 und 1 :

3 · 1 = 3

Jetzt müssen wir das noch das Komma an die richtige Stelle bringen:

Da ja aber 0,3 nur $\frac{1}{\mathrm{10}}$ von 3 ist, müssen wir auch das richtige Ergebis der Multiplikation noch durch 10 teilen.

Und ja 0,1 nur $\frac{1}{\mathrm{10}}$ von 1 ist, müssen wir auch das richtige Ergebis der Multiplikation noch durch 10 teilen.

Insgesamt müssen wir also durch 10 und durch 10 teilen, also das Komma um 1 + 1 = 2 Stellen nach links verschieben:

0,3 · 0,1 = 0,03

Wir wandeln am besten die Dezimalzahl als Bruch um: 2,2 = $\frac{22}{10}$

Diesen Bruch können wir mit 2 kürzen und erhalten: $\frac{22}{10}$ = $\frac{11}{5}$

Jetzt können wir die beiden Brüche miteinander verrechnen:

$\frac{11}{5}$ $·$ $\frac{3}{22}$

= $\frac{11·3}{5·22}$

= $\frac{1·3}{5·2}$

= $\frac{3}{10}$

Wenn man genau hinsieht, erkennt man, dass $\frac{23}{6}$ in beiden Produkten enthalten ist. Und bevor wir gleich zwei mal mit der hässlichen 23 multiplizieren müssen, klammern wir doch besser die $\frac{23}{6}$ aus:

$\frac{4}{5}·\frac{23}{6}+\frac{2}{5}·\frac{23}{6}$

= $\left(\frac{4}{5}+\frac{2}{5}\right)·\frac{23}{6}$

= $\frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{23}{6}$

Jetzt können wir diagonal mit 6 kürzen:

= $\frac{23}{5}$

Zuerst ignorieren wir mal das Komma komplett, nehmen also die Ziffern einfach als ganze Zahlen und berechnen:

55 : 11 = 5

Da ja aber 5,5 nur $\frac{1}{\mathrm{10}}$ von 55 ist, müssen wir auch das Ergebnis dieser Division noch durch 10 teilen, also um 1 Stellen nach rechts verschieben:

5,5 : 11

= 0,5

Wenn man zwei Dezimalzahlen dividiert, kann man das Komma bei beiden Zahlen um gleich viele Stellen nach rechts verschieben, ohne dass sich etwas am Ergebnis ändert:
Beispiel: 0,17 : 0,4 = $\frac{\mathrm{0,17}}{\mathrm{0,4}}$ = $\frac{\mathrm{0,17\; \cdot \; 100}}{\mathrm{0,4\; \cdot \; 100}}$ = = $\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{40}}$ = 17 : 40

Wir verschieben also das Komma bei beiden Zahlen so weit nach rechts, bis der Divisor (die Zahl durch die geteilt wird) ganzzahlig wird, also um 1 Stelle nach rechts:

2,8 : 0,4 = 28 : 4

= 7

Wenn ⬜ : 0,7 = 0,4 ergibt, dann muss doch das Kästchen gerade das Produkt von 0,7 und 0,4 sein, also :

⬜ = 0,7 · 0,4 = 0,28

7 · 4 = 28; und dann eben das Komma wieder um 1 + 1 = 2 Stellen nach links verschieben.

Wir wandeln am besten die Dezimalzahl als Bruch um: 3,5 = $\frac{35}{10}$

Diesen Bruch können wir mit 5 kürzen und erhalten: $\frac{35}{10}$ = $\frac{7}{2}$

Jetzt können wir die beiden Brüche miteinander verrechnen:

$\frac{7}{2}$ : $\frac{3}{4}$

= $\frac{7}{2}$ $·$ $\frac{4}{3}$

= $\frac{7·4}{2·3}$

= $\frac{7·2}{1·3}$

= $\frac{14}{3}$