Aufgabenbeispiele von proportional
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Zweisatz
Beispiel:
In einem Joghurtbechern von Herrn Schaaf sind 400 g drin.
Wie viel Joghurt ist in 9 Bechern drin?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Becher Joghurt in der ersten Zeile auf 9 Becher Joghurt in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 9 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 400 g mit 9 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 9 Becher Joghurt entspricht:
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⋅ 9
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⋅ 9
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⋅ 9
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⋅ 9
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 Becher Joghurt entspricht: 3600 g
Zweisatz rückwärts
Beispiel:
In den 7 Joghurtbechern von Herrn Schaaf sind insgesamt 3500 g drin.
Wie viel Joghurt ist in 1 Becher drin?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 7 Becher Joghurt in der ersten Zeile auf 1 Becher Joghurt in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Somit müssen wir auch die 3500 g durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Becher Joghurt entspricht:
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: 7
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: 7
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: 7
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: 7
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Becher Joghurt entspricht: 500 g
Einfacher Dreisatz
Beispiel:
Beim Bäcker Leckerbeck kosten 4 Brötchen immer 1,60 €.
Wie viel kosten 5 Brötchen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Brötchen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 4 Brötchen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 4 und von 5 sein, also der ggT(4,5) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Brötchen:
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Um von 4 Brötchen in der ersten Zeile auf 1 Brötchen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 1.6 € durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Brötchen entspricht:
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: 4
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: 4
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: 4
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: 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Brötchen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 5 Brötchen in der dritten Zeile zu kommen.
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: 4
⋅ 5
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: 4
⋅ 5
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Wir müssen somit auch rechts die 0,40 € in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:
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: 4
⋅ 5
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: 4
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 5 Brötchen entspricht: 2,00 €
Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 20 Eier | 900 ct |
| ? | ? |
| 24 Eier | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Eier in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 20 Eier teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 20 und von 24 sein, also der ggT(20,24) = 4.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Eier:
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Um von 20 Eier in der ersten Zeile auf 4 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 900 ct durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Eier entspricht:
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: 5
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: 5
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(Beim Teilen durch 5 kann man einfach erst verdoppeln und dann durch 10 teilen.)
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: 5
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: 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Eier in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 24 Eier in der dritten Zeile zu kommen.
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: 5
⋅ 6
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: 5
⋅ 6
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Wir müssen somit auch rechts die 180 ct in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren:
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: 5
⋅ 6
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: 5
⋅ 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 24 Eier entspricht: 1080 ct
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 6 km braucht sie 30 Minuten.
Wie lange braucht sie für 9 km?
Wie viele km schafft sie in 60 min?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 9 sein, also der ggT(6,9) = 3.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 km:
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Um von 6 km in der ersten Zeile auf 3 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 30 min durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 km entspricht:
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: 2
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: 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 3 km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 9 km in der dritten Zeile zu kommen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 km entspricht: 45 min
Für die andere Frage (Wie viele km schafft sie in 60 min?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "min"-Werte haben und nach einem "km"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die min in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 30 min teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 30 und von 60 sein, also der ggT(30,60) = 30.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 30 min:
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Um von 30 min in der ersten Zeile auf 30 min in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 1 teilen. Somit müssen wir auch die 6 km durch 1 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 30 min entspricht:
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: 1
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: 1
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Jetzt müssen wir ja wieder die 30 min in der mittleren Zeile mit 2 multiplizieren, um auf die 60 min in der dritten Zeile zu kommen.
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: 1
⋅ 2
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: 1
⋅ 2
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 60 min entspricht: 12 km
Proportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.
Wir überprüfen zuerst, ob die 90 min den 15 km entsprechen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Der Wert 90 min war also korrekt.
Jetzt überprüfen wir, ob die 135 min den 20 km entsprechen.
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: 1
⋅ 2
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: 1
⋅ 2
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Der Wert 135 min war also falsch, richtig wäre 120 min gewesen.
