Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 239 Liter = ..... mm³
239 Liter = 239000000 mm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
97 dm³ + 550 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
97 dm³ = 97000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
97 dm³ + 550 cm³
= 97000 cm³ + 550 cm³
= 97550 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 5000 dm³ Wasser ?
5000 dm³ = 5 m³
1 cm³ ≙ 1 g
1 000 000 cm³ ≙ 1 000 000 g
1 000 dm³ ≙ 1 000 kg
also 1 m³ ≙ 1 t
Somit wiegen 5 m³ Wasser eben 5 t
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 2 m lang, 10 m breit und 8 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 2 m ⋅ 10 m ⋅ 8 m
= 160 m³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 270 dm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 dm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 dm
b = 3 dm
c = 45 dm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 dm ⋅ 3 dm ⋅ 45 dm = 270 dm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm lang, 3 cm breit und 2 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 cm ⋅ 3 cm ⋅ 2 cm
= 60 cm³
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 6 cm lang, 5 cm breit und 4 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 cm⋅5 cm + 2⋅6 cm⋅4 cm
+ 2⋅5 cm⋅4 cm
= 60 cm² + 48 cm² + 40 cm²
= 148 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 6 dm lang, 5 dm breit und 2 dm hoch. Bestimme das Volumen V und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 6 dm ⋅ 5 dm ⋅ 2 dm
= 60 dm³
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 dm⋅5 dm + 2⋅6 dm⋅2 dm
+ 2⋅5 dm⋅2 dm
= 60 dm² + 24 dm² + 20 dm²
= 104 dm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 54 mm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
54 mm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 54 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 54, also 9 ergeben.
9 mm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 3 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|1), B(7|1), C(8|2) und G(8|5) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 4 Einheiten (oder 8 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-4|2) = D(4|2).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 5-2 = 3. Somit muss auch der Punkt E genau 3 Einheiten über dem Punkt A(3|1) liegen, also bei E(3|1+3) = E(3|4).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 3 Einheiten über dem Punkt B(7|1) liegen muss, also bei F(7|1+3) = F(7|4).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 3 Einheiten über dem Punkt D(4|2) liegen muss, also bei H(4|2+3) = H(4|5).
