Aufgabenbeispiele von Pfadregel, Kombinatorik
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Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
In einer Urne sind 3 rote und 10 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 4. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
=
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal 1-12"?
Da ja ausschließlich nach '1-12' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '1-12' und 'nicht 1-12'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"1-12": ; "nicht 1-12": ;
Ereignis | P |
---|---|
1-12 -> 1-12 | |
1-12 -> nicht 1-12 | |
nicht 1-12 -> 1-12 | |
nicht 1-12 -> nicht 1-12 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1-12: ; nicht 1-12: ;
Die relevanten Pfade sind:- '1-12'-'nicht 1-12' (P=)
- 'nicht 1-12'-'1-12' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ =
Kombinatorik
Beispiel:
Eine Mathelehrerin hat für die 5 SchülerInnen ihrer 8. Klasse, die eine Zusatzaufgabe gemacht haben, eine Schokoladentafel, ein Pack Gummibärchen und eine Packung Kekse dabei. Jede der Süßigkeiten wird unter den 5 SchülerInnen verlost, wobei man nie mehr als eine Süßigkeit gewinnen kann. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Gesamtverlosung?
Für die erste Stelle (Schokolade) ist jede(r) SchülerInnen möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle (Gummibärchen) ist der/die an erster Stelle (Schokolade) stehende SchülerInnen nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle (Kekse) fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:
also 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 Möglichkeiten.
n Richtige tippen (ohne Zurücklegen)
Beispiel:
In einem Behälter sind 11 blaue, 11 gelbe und 13 grüne Kugeln. Es werden 14 Kugeln aus dem Behälter zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass davon genau 2 Kugeln blau und genau 8 Kugeln grün sind.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)
Zum besseren Verständnis könnnen wir uns ja vorstellen, dass alle Kugeln mit den Zahlen 1 bis 35 durchnummeriert wären.
Zuerst überlegen wir uns die Anzahl der Möglichkeiten welche 14 der insgesamt 35 Kugeln gewählt werden. Da dies ja der klassische Fall ist, bei dem man 14 von 35 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auswählt, können wir hierfür einfach den Binomialkoeffizienten verwenden.
Jetzt überlegen wir uns, wie viele günstige Möglichkeiten es gibt:
Es gibt verschiedene Möglichkeiten 2 Kreuzchen auf 11 Kästchen zu verteilen.
Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 2 gezogenen blauen unter den 11 blauen Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "2 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 11 blauen Kugeln ziehen", also Möglichkeiten.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten 4 Kreuzchen auf 11 Kästchen zu verteilen.
Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 4 gezogenen gelben unter den 11 gelben Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "4 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 11 gelben Kugeln ziehen", also Möglichkeiten.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten 8 Kreuzchen auf 13 Kästchen zu verteilen.
Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 8 gezogenen grünen unter den 13 grünen Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "8 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 13 grünen Kugeln ziehen", also Möglichkeiten.
Wenn wir jetzt die günstigen Fälle betrachten, kommen wir auf ⋅ ⋅ Möglichkeiten, weil ja jeder Fall der gezogenen blauen mit jedem Fall der gezogenen gelben uns mit jedem Fall der gezogenen grünen kombiniert werden kann. Da ja die Anzahl der insgesamt möglichen Fälle für "14 Kugeln aus 35 Kugeln ziehen" ist, können wir nun die Wahrscheinlichkiet als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:
P = = ≈ 0,0101 = 1,01%
nur verschiedene (mit Zurücklegen)
Beispiel:
Ein Zahlenschloss hat 5 Drehscheiben, auf denen jeweils die Zahlen von 1 bis 9 einstellbar sind. Es wird mit verbundenen Augen eine zufällige Zahlen-Kombination eingestellt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei keine Zahl mehrfach vorkommt?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)
Anzahl der möglichen Fälle
Man erkennt schnell, dass es für jedes Feld (hier: Zahlenschlossrad) 9 Möglichkeiten gibt, die sich mit den 9 Möglichkeiten jedes anderen Feldes (Zahlenschlossrad) kombinieren lassen, so dass es insgesamt 9⋅9⋅...⋅9 = 95 Möglichkeiten für eine Zahlenschlosseinstellungen gibt.
Anzahl der günstigen Fälle
Für die Anzahl der günstigen (oder gesuchten) Möglichkeiten suchen wir also alle möglichen Kombinationen, bei denen 5 verschiedene Zahlen auftreten.
Es gibt
Bei jeder dieser
Insgesamt kommen wir so auf
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit können wir somit als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:
P =
Ohne Zurücklegen rückwärts
Beispiel:
In einem Behälter sind 4 rote und ein unbekannte Zahl n blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln zu ziehen, P(r-r) =
Insgesamt sind also n + 4 Kugeln im Behälter.
Die Wahrscheinlichkeit für "rot" beim ersten Versuch ist damit:
Wenn dann auch tatsächlich
"rot" aufgetreten ist, ist die Wahrscheinlichkeit für "rot" beim zweiten Versuch ist dann:
Die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln zu ziehen ist also
D=R\{
|
= |
|
Wir multiplizieren den Nenner
|
= |
|
|⋅(
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|⋅ 15 |
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
n1,2 =
n1,2 =
n1,2 =
n1 =
n2 =
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
Es waren also 6 blaue Kugeln im Behälter.
2 Urnen
Beispiel:
In einem Behälter A sind 3 rote und 3 blaue Kugeln. Im Behälter B sind 10 rote und 5 blaue Kugeln. Es wird eine Kugel zufällig aus Behälter A gezogen und in den Behälter B gelegt. Dann werden zwei Kugeln gleichzeitg aus Behälter B gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese beiden Kugeln aus Behälter B beide blau sind.
Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Behälter B nach der ersten Ziehung aus Behälter A bestückt ist:
1. Möglichkeit: 11 rote und 5 blaue
Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Behälter A eine rote Kugel gezogen wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist
Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, können wir über ein Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen, bestimmen:
P(blau-blau) =
Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen wenn zuvor eine rote
Kugel von Behälter A gezogen wurde:
P1 =
2. Möglichkeit: 10 rote und 6 blaue
Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Behälter A eine blaue Kugel gezogen wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist
Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, verändern sich am Baumdiagramm eben die Wahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen, ist in diesem Fall dann:
P(blau-blau) =
Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen wenn zuvor eine blaue
Kugel von Behälter A gezogen wurde:
P2 =
Beide Möglichkeiten zusammen:
Insgesamt gilt somit für die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen:
P = P1 + P2 =