Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1995 - 46) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1995 - 46) mod 5 ≡ (1995 mod 5 - 46 mod 5) mod 5.
1995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1995
= 1900
46 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46
= 40
Somit gilt:
(1995 - 46) mod 5 ≡ (0 - 1) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 66) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(86 ⋅ 66) mod 8 ≡ (86 mod 8 ⋅ 66 mod 8) mod 8.
86 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 80 + 6 = 10 ⋅ 8 + 6 ist.
66 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 64 + 2 = 8 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(86 ⋅ 66) mod 8 ≡ (6 ⋅ 2) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 34916 mod 787.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 349 -> x
2. mod(x²,787) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 3491=349
2: 3492=3491+1=3491⋅3491 ≡ 349⋅349=121801 ≡ 603 mod 787
4: 3494=3492+2=3492⋅3492 ≡ 603⋅603=363609 ≡ 15 mod 787
8: 3498=3494+4=3494⋅3494 ≡ 15⋅15=225 ≡ 225 mod 787
16: 34916=3498+8=3498⋅3498 ≡ 225⋅225=50625 ≡ 257 mod 787
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 95177 mod 997.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 77 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 77 an und zerlegen 77 in eine Summer von 2er-Potenzen:
77 = 64+8+4+1
1: 9511=951
2: 9512=9511+1=9511⋅9511 ≡ 951⋅951=904401 ≡ 122 mod 997
4: 9514=9512+2=9512⋅9512 ≡ 122⋅122=14884 ≡ 926 mod 997
8: 9518=9514+4=9514⋅9514 ≡ 926⋅926=857476 ≡ 56 mod 997
16: 95116=9518+8=9518⋅9518 ≡ 56⋅56=3136 ≡ 145 mod 997
32: 95132=95116+16=95116⋅95116 ≡ 145⋅145=21025 ≡ 88 mod 997
64: 95164=95132+32=95132⋅95132 ≡ 88⋅88=7744 ≡ 765 mod 997
95177
= 95164+8+4+1
= 95164⋅9518⋅9514⋅9511
≡ 765 ⋅ 56 ⋅ 926 ⋅ 951 mod 997
≡ 42840 ⋅ 926 ⋅ 951 mod 997 ≡ 966 ⋅ 926 ⋅ 951 mod 997
≡ 894516 ⋅ 951 mod 997 ≡ 207 ⋅ 951 mod 997
≡ 196857 mod 997 ≡ 448 mod 997
Es gilt also: 95177 ≡ 448 mod 997
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-89-Inverse zur Zahl 36.
Also bestimme x, so dass 36 ⋅ x ≡ 1 mod 89 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 89 und 36
| =>89 | = 2⋅36 + 17 |
| =>36 | = 2⋅17 + 2 |
| =>17 | = 8⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(89,36)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 17-8⋅2 | |||
| 2= 36-2⋅17 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅17 -8⋅(36 -2⋅ 17)
= 1⋅17 -8⋅36 +16⋅ 17) = -8⋅36 +17⋅ 17 (=1) |
| 17= 89-2⋅36 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -8⋅36 +17⋅(89 -2⋅ 36)
= -8⋅36 +17⋅89 -34⋅ 36) = 17⋅89 -42⋅ 36 (=1) |
Es gilt also: ggt(89,36)=1 = 17⋅89 -42⋅36
oder wenn man 17⋅89 auf die linke Seite bringt:
1 -17⋅89 = -42⋅36
-42⋅36 = -17⋅89 + 1 |+89⋅36
-42⋅36 + 89⋅36 = -17⋅89 + 89⋅36 + 1
(-42 + 89) ⋅ 36 = (-17 + 36) ⋅ 89 + 1
47⋅36 = 19⋅89 + 1
Es gilt also: 47⋅36 = 19⋅89 +1
Somit 47⋅36 = 1 mod 89
47 ist also das Inverse von 36 mod 89
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 73. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
