Aufgabenbeispiele von Prismen
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Volumen eines Prisma
Beispiel:
Berechne das Volumen des dargestellten, senkrechten Prismas.
Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 6 cm nach schräg hinten ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = ⋅ Grundseite ⋅ Höhe
also hier:
A = ⋅ 6 cm ⋅ 6 cm = 18 cm²
Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 18 cm² ⋅ 6 cm = 108 cm³
Volumen eines Prisma 2
Beispiel:
Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 60 m. Berechne das Volumen des Prismas.
Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:
G = c ⋅ hc
Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe hc mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:
hc2 + ()2 = 62 |-()2
hc2 = 62 - ()2 = 62 - 4.52 = 36 - 20.25= 15.75
Daraus ergibt sich:
hc = ≈ 3.969
Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:
G = c ⋅ hc = ⋅ 9 ⋅ 3.969 ≈ 17.9
Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=60 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 17.9 m² ⋅ 60 m ≈ 1071.5 m³
Prismavolumen rückwärts
Beispiel:
Ein Prisma hat das Volumen V = 625 m³, die Höhe h = 100 m und als Grundfläche das abgebildete rechtwinklige gleichschenklige Dreieck.
Berechne die rote Strecke x.
Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = ≈ ≈ 6.25
Jetzt müssen wir uns eine Formel für das rechtwinklige gleichschenklige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
s2 + s2 = x2
also 2s2 = x2 oder eben s2 = x2
Für den Flächeninhalt des rechtwinklig und gleichschenkligen Dreiecks gilt wegen des rechten Winkels oben in C aber:
A = s ⋅ s = ⋅ s2
mit s2 = x2 gilt somit;
A = ⋅ x2 = x2
Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 6.25 einsetzen:
6.25 ≈ x2 | ⋅4
25 ≈ x2
x ≈ ≈ 5
Für x = 5 m ist somit die Grundfläche G ≈ 6.3 m² und das Volumen des Prismas V ≈ 625 m³