f(0) = $146$

f(1) = $146$ ⋅ $\mathrm{1,5}$

f(2) = $146$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$

f(3) = $146$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$

f(4) = $146$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$ ⋅ $\mathrm{1,5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,5}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,5}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,5}$-fache, also auf $150$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 150% - 100% = 50 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 25% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 25% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{25}{100}$⋅B = (1 + $\frac{25}{100}$) ⋅ B = 1,25 ⋅ B. Somit ist das a=1,25.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=12 Wochen, also f(12):

f(12) = $4000\cdot {\mathrm{1,25}}^{12}$ ≈ 58207,661.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 304000 Nutzer ist, also f(t) = 304000:

$4000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$	=	$304000$	|:$4000$
${\mathrm{1,25}}^t$	=	$76$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,25}}^t\right)$	=	$\lg \left(76\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,25}\right)$	=	$\lg \left(76\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,25}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(76\right)}{\lg \left(\mathrm{1,25}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{19,4078}$

Nach ca. 19,408 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 304000 Nutzer.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=26 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $26\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Stunden der Bestand 160.99 Millionen Bakterien ist, also f(10) = 160.99. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $26\cdot a^t$ ein:

$26a^{10}$	=	$\mathrm{160,99}$	|:$26$
$a^{10}$	=	$\mathrm{6,19192}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{6,19192}}$	≈ $-\mathrm{1,2}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{6,19192}}$	≈ $\mathrm{1,2}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,2}$ ≈ 1.2 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $26\cdot {\mathrm{1,2}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Stunden, also f(11):

f(11) = $26\cdot {\mathrm{1,2}}^{11}$ ≈ 193,182.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 226 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 226:

$26\cdot {\mathrm{1,2}}^t$	=	$226$	|:$26$
${\mathrm{1,2}}^t$	=	$\frac{113}{13}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,2}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{113}{13}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,2}\right)$	=	$\lg \left(\frac{113}{13}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,2}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{113}{13}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,2}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,8606}$

Nach ca. 11,861 Stunden ist also der Bestand = 226 Millionen Bakterien.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 15% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{15}{100}$⋅B = (1 + $\frac{15}{100}$) ⋅ B = 1,15 ⋅ B. Somit ist das a=1,15.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,15}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 7 Wochen der Bestand 10640.08 Nutzer ist, also f(7) = 10640.08. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,15}}^t$ ein:

c ⋅ 1.15⁷ = 10640.08

c ⋅ 2.66002 = 10640.08 | : 2.66002

c = 4000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,15}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = $4000\cdot {\mathrm{1,15}}^9$ ≈ 14071,505.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 7000 Nutzer ist, also f(t) = 7000:

$4000\cdot {\mathrm{1,15}}^t$	=	$7000$	|:$4000$
${\mathrm{1,15}}^t$	=	$\frac{7}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,15}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,15}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,15}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,15}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,0041}$

Nach ca. 4,004 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 7000 Nutzer.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,1}}^t$ ablesen: a=1.1.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.1($2$) ≈ 7.27 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4}{100}$⋅B = (1 - $\frac{4}{100}$) ⋅ B = 0,96 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,96.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.96($\frac{1}{2}$) ≈ 16.98 Jahre

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 8000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 23.4 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{23,4}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{23,4}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{23,4}}}$ ≈ 1.03, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$