Wir setzen einfach den Punkt A(1|3) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ ein und erhalten so die Gleichung:

3 = a¹

3 = a

Das gesuchte a ist somit 3 (Der gesuchte Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $3^x$)

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|$-\frac{8}{3}$) und B(3|$-\frac{32}{3}$) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $-\frac{8}{3}$ = $c·a$
II: $-\frac{32}{3}$ = $c·a^3$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $-\frac{8}{3}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $-\frac{32}{3}$ = $-\frac{8}{3a}·a^3$

also

II: $-\frac{32}{3}$ = $-\frac{8}{3}{a}^2$

$-\frac{8}{3}{a}^2$	=	$-\frac{32}{3}$	|⋅ $\left(-\frac{3}{8}\right)$
$a^2$	=	$4$	|
a1	=	$-\sqrt{4}$	= $-2$
a2	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $-\frac{8}{3}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a=$2$ eingesetzt erhalten wir so: $-\frac{4}{3}$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $\text{f(x)}=$ $-\frac{4}{3}\cdot 2^x$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$-\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$-\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $-\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $-\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$-1$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $-1$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $-1$ = $-\frac{1}{2}\cdot a^1$ = $-\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $-1$ = $-\frac{1}{2}a$ | ⋅ $-2$

2 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 2^x$