$\text{f(x)}=$ $-4x^4-\frac{3}{4}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $-16x^3-\frac{3}{2}x$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{8}{3x^2}$

= $-\frac{8}{3}{x}^{-2}$

=> f'(x) = $\frac{16}{3}{x}^{-3}$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{16}{3x^3}$

f'(1) = $\frac{16}{3\cdot 1^3}$ = $\frac{16}{3}\cdot 1$ = $\frac{16}{3}$ ≈ 5.33

$\text{f(x)}=$ $-5x^4-4$

=>$\text{f'(x)}=$ $-20x^3+0$

= $-20x^3$

f'(-1) = $-20\cdot {\left(-1\right)}^3$ = $-20\cdot \left(-1\right)$ = $20$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{5}{x^2}$

= $-5x^{-2}$

=> f'(x) = $10x^{-3}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{10}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $2\sqrt{x}$

= $2x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $x^{-\frac{1}{2}}$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{x}}$

$\text{f(x)}=$ $t{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2+6x^2$

= $t{x}^{\frac{2}{3}}+6x^2$

=> f'(x)= $\frac{2}{3}t{x}^{-\frac{1}{3}}+12x$

=>$\text{f'(x)}=$ $\frac{2t}{3\sqrt[3]{x}}+12x$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $\frac{2t}{3\cdot \sqrt[3]{1}}+12\cdot 1$
= $\frac{2t}{3}+12\cdot 1$
= $\frac{2}{3}t+12$

Dieser Wert soll ja den Wert $8$ besitzen, also gilt:

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(0|f(0)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 0 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^4+2x+5$

=>$\text{f'(x)}=$ $-4x^3+2+0$

f'(0) = $-4\cdot 0^3+2$ = $-4\cdot 0+2$ = $2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(0)) = arctan( $2$)) ≈ 63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-5x-7$ ab:

f'(x) = $2x^3-5$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 1.

f_t(0) = 0, also verläuft der Graph von f_t für jedes t durch den Ursprung O(0|0).

Für den Steigungswinkel α gilt ja:

tan(α)=m = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Wenn also im Ursprung der Steigungswinkel -38.66 ° beträgt, muss für die Steigung im Ursprung gelten:

m = tan(-38.66°) ≈ -0.8

Dieses m können wir ja aber auch in Abhängigkeit von t mit der Ableitungsfunktion f_t' bei x=0 berechnen:

$\text{f(x)}=$ $2x^3+\frac{1}{25}tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $6x^2+\frac{1}{25}t$

Jetzt setzen wir x = 0 in die Ableitungsfunktion f' ein:

f'(0) = $6\cdot 0^2+\frac{1}{25}t$
= $\frac{1}{25}t$

Dieser Wert soll ja ungefähr -0.8 betragen, also gilt:

Als ganzzahligen Wert können wir somit t = -20 nehmen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

L={ $-3$; $3$}

Um den Schnittwinkel zu berechnen brauchen wir zuerst die Steigungswinkel der beiden Graphen im Schnittpunkt S( $3$|f( $3$)).

Dazu leiten wir die beiden Funktionen ab und setzen den x-Wert des Schnittpunkts x = $3$ in die Ableitungen ein um die Tangentensteigungen zu erhalten:

$\text{f'(x)}=$ $2x+3$, also gilt m_f = f'( $3$)= $2\cdot 3+3$ = $9$

$\text{g'(x)}=$ $-2x+3$, also gilt m_g = g'( $3$)= $-2\cdot 3+3$ = $-3$

Mit den Tangentensteigungen kann man nun die Steigungswinkel dieser Tangenten mit der Formel tan(α) = m = $\frac{\mathrm{y-Zuwachs}}{\mathrm{x-Zuwachs}}$

Somit gilt für den Steigungswinkel von f in S( $3$|f( $3$)): α = arctan( $9$) ≈ 83.7°

und für den Steigungswinkel von g in S( $3$|g( $3$)) gilt: β = arctan( $-3$) ≈ -71.6°

An der Skizze erkennt man schnell, dass man den Schnittwinkel als den Betrag der Differenz der beiden Steigungswinkel berechnen kann.

γ = |α - β| = |83.7° - ( - 71.6 )°| ≈ 155.3°

Die beiden Tangenten haben ja eigentlich zwei Schnittwinkel, die Nebenwinkel zueinander sind. Als Schnittwinkel wird im Normalfall immer der kleinere der beiden bezeichnet. Deswegen gilt für den Schnittwinkel γ* = 180° - 155.3° = 24.7° .

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $x^2+\frac{3}{2}x-1$

=>$\text{f'(x)}=$ $2x+\frac{3}{2}+0$

f'(-2) = $2\cdot \left(-2\right)+\frac{3}{2}$ = $-4+\frac{3}{2}$ = $-\frac{5}{2}$ ≈ -2.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-\frac{5}{2}$)) ≈ -68.2°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-51x-6$ ab:

f'(x) = $2x^3-51$

Es muss gelten:

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 3.