$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(-2x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(-2x+3\right)·\left(-2+0\right)$

= $3\cdot \cos \left(-2x+3\right)·\left(-2\right)$

= $-6\cdot \cos \left(-2x+3\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\sin \left(-\frac{3}{2}x-5\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\cos \left(-\frac{3}{2}x-5\right)·\left(-\frac{3}{2}+0\right)$

= $-\cos \left(-\frac{3}{2}x-5\right)·\left(-\frac{3}{2}\right)$

= $\frac{3}{2}\cdot \cos \left(-\frac{3}{2}x-5\right)$

$\text{f(x)}=$ $2\sqrt{-2x-1}$

= $2{\left(-2x-1\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${\left(-2x-1\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(-2+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{\sqrt{-2x-1}}·\left(-2+0\right)$

= $\frac{1}{\sqrt{-2x-1}}·\left(-2\right)$

= $-\frac{2}{\sqrt{-2x-1}}$

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 0 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(0)

g(0) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(0) = 2.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
2 = g(-2)
Wegen 2 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-1|-2) und Q₂(1|-2), also bei
x₁ = -1 und x₂ = 1

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(2)) = f($2$).

f($2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(2)) = f($2$) = $-2$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-3) = $-2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-3)) = f($-2$).

f($-2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-3)) = f($-2$) = $-\frac{1}{2}$.

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(x\right)·\frac{1}{x^2}$

= $\cos \left(x\right)·x^{-2}$

=> f'(x) = $-\sin \left(x\right)·x^{-2}+\cos \left(x\right)·\left(-2x^{-3}\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x\right)·\frac{1}{x^2}+\cos \left(x\right)·\left(-\frac{2}{x^3}\right)$

= $-\frac{\sin \left(x\right)}{x^2}-2\frac{\cos \left(x\right)}{x^3}$

$\text{f(x)}=$ $x^4·\sin \left(x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4x^3·\sin \left(x+4\right)+x^4·\cos \left(x+4\right)$

= $4x^3·\sin \left(x+4\right)+x^4·\cos \left(x+4\right)$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+5\right)·\cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\cos \left(-3x\right)+\left(2x+5\right)·(-\sin \left(-3x\right)·\left(-3\right))$

= $2\cdot \cos \left(-3x\right)+\left(2x+5\right)·3\cdot \sin \left(-3x\right)$

= $2\cdot \cos \left(-3x\right)+3\left(2x+5\right)·\sin \left(-3x\right)$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x-2$)⋅g(x) + ( $x^2-2x-24$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = -2 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(-2) = g'(-2) = 0.

Somit ist bei x = -2 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(-2) = f'(-2)⋅g(-2) + f(-2)⋅g'(-2) = f'(-2)⋅0 + f(-2)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -2 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-4)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -4 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -4) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -4 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -4, dass dies gerade 0 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 0 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -4) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Kettenregel wissen wir, dass für die Ableitung von h(x)=f(g(x)) gilt:
h'(x) = f'(g(x))⋅g'(x).

Am Graph von g erkennen wir schnell, dass die die Nullstellen von g bei x = -2 und bei x = 2 sind.
Der Extrempunkt des Graphs liegt bei x = 0, (also gilt g '(0) = 0).

Damit ist ja bereits ein Faktor des Kettenregelprodukts =0. Wenn wir also x = 0 in h'(x) einsetzen, erhalten wir:
h'(0) = f'(g(0))⋅g'(0) = f'(g(0))⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 0 eine waagrechte Tangente.