$\frac{1}{x^6}$ kann man auch als $x^{-6}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{x^6}$ = $1·\frac{1}{x^6}$ das gleiche wie $x^{-6}$.

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{8}{9}}$ = x^{8⋅$\frac{1}{9}$} = ${\left(x^8\right)}^{\frac{1}{9}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{9}$} immer das gleiche ist wie die 9-te Wurzel, also:

${\left(x^8\right)}^{\frac{1}{9}}$ = $\sqrt[9]{x^8}$

Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{\left(\sqrt[5]{x}\right)}^4}$ = $\frac{1}{{\left(x^{\frac{1}{5}}\right)}^4}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{\left(x^{\frac{1}{5}}\right)}^4}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}·4}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ = $x^{-\frac{4}{5}}$

${64}^{\frac{2}{3}}$

= ${\left(\sqrt[3]{64}\right)}^2$

= $4^2$

= 16

${121}^{-\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>121</mn></mrow>\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}}$

= $\frac{1}{\sqrt{121}}$

= $\frac{1}{11}$

${\mathrm{0,81}}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{\mathrm{0,81}}$

= $\mathrm{0,9}$

${\left({19}^4\right)}^{\frac{1}{2}}$

= ${19}^{4·\frac{1}{2}}$

= ${19}^2$

= $361$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[8]{x^6}·{\left(\sqrt[4]{x}\right)}^6)}^8$

= ${(x^{\frac{6}{8}}\cdot x^{\frac{6}{4}})}^8$

= ${(x^{\frac{3}{4}}\cdot x^{\frac{3}{2}})}^8$

= ${\left(x^{\frac{3}{4}+\frac{3}{2}}\right)}^8$

= ${\left(x^{\frac{9}{4}}\right)}^8$

= $x^{\frac{9}{4}·8}$

= $x^{18}$

$\frac{\frac{7}{d}}{5d^{-2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{7}{d}}{\frac{5}{d^2}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{7}{d}·\frac{d^2}{5}$

= $\frac{7}{5}d$