$\sqrt{3x+31}$	=	$4$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3x+31$	=	$4^2$

$3x+31$	=	$16$	| $-31$
$3x$	=	$-15$	|:$3$
$x$	=	$-5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-5$

Linke Seite: x = $-5$ in $\sqrt{3x+31}$ $=$ $\sqrt{3\cdot \left(-5\right)+31}$ = $\sqrt{-15+31}$ = $\sqrt{16}$ = $4$

Rechte Seite: x = $-5$ in $4$ $=$ $4$

Also 4 = 4

x = $-5$ ist somit eine Lösung !

L={ $-5$}

$\sqrt{84x-20}-3x$	=	$5$	| $+3x$
$\sqrt{84x-20}$	=	$3x+5$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$84x-20$	=	${\left(3x+5\right)}^2$

$84x-20$

=

$9x^2+30x+25$

| $-9x^2$ $-30x$ $-25$

$-9x^2+54x-45$ = 0 |:9

$-x^2+6x-5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·\left(-1\right)·\left(-5\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{16}}{-2}$

x₁ = $\frac{-6+\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{-2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-6-\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{-2}$ = $5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite: x = $1$ in $\sqrt{84x-20}-3x$ $=$ $\sqrt{84\cdot 1-20}-3\cdot 1$ = $\sqrt{84-20}-3$ = $\sqrt{64}-3$ = $8-3$ = $5$

Rechte Seite: x = $1$ in $5$ $=$ $5$

Also 5 = 5

x = $1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite: x = $5$ in $\sqrt{84x-20}-3x$ $=$ $\sqrt{84\cdot 5-20}-3\cdot 5$ = $\sqrt{420-20}-15$ = $\sqrt{400}-15$ = $20-15$ = $5$

Rechte Seite: x = $5$ in $5$ $=$ $5$

Also 5 = 5

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$; $5$}

$\sqrt{16x+20}$	=	$2\sqrt{5x+4}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$16x+20$	=	${\left(2\sqrt{5x+4}\right)}^2$

$16x+20$	=	$4\left(5x+4\right)$
$16x+20$	=	$20x+16$	| $-20$
$16x$	=	$20x-4$	| $-20x$
$-4x$	=	$-4$	|:($-4$)
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite: x = $1$ in $\sqrt{16x+20}$ $=$ $\sqrt{16\cdot 1+20}$ = $\sqrt{16+20}$ = $\sqrt{36}$ = $6$

Rechte Seite: x = $1$ in $2\sqrt{5x+4}$ $=$ $2\sqrt{5\cdot 1+4}$ = $2\sqrt{5+4}$ = $2\sqrt{9}$ = $6$

Also 6 = 6

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$}

$\sqrt{4x+29}$	=	$\sqrt{2x+14}+1$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4x+29$	=	${\left(\sqrt{2x+14}+1\right)}^2$

$4x+29$	=	$2\sqrt{2x+14}+2x+15$	| $-4x$ $-29$ $-2\sqrt{2x+14}$
$-2\sqrt{2x+14}$	=	$-2x-14$	|:($-2$)
$\sqrt{2x+14}$	=	$x+7$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2x+14$	=	${\left(x+7\right)}^2$

$2x+14$

=

$x^2+14x+49$

| $-x^2$ $-14x$ $-49$

$-x^2-12x-35$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+12\pm \sqrt{{\left(-12\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-35\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+12\pm \sqrt{144-140}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+12\pm \sqrt{4}}{-2}$

x₁ = $\frac{12+\sqrt{4}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>12</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{14}{-2}$ = $-7$

x₂ = $\frac{12-\sqrt{4}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>12</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{-2}$ = $-5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-7$

Linke Seite: x = $-7$ in $\sqrt{4x+29}$ $=$ $\sqrt{4\cdot \left(-7\right)+29}$ = $\sqrt{-28+29}$ = $\sqrt{1}$ = $1$

Rechte Seite: x = $-7$ in $\sqrt{2x+14}+1$ $=$ $\sqrt{2\cdot \left(-7\right)+14}+1$ = $\sqrt{-14+14}+1$ = $\sqrt{0}+1$ = $0+1$ = $1$

Also 1 = 1

x = $-7$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $-5$

Linke Seite: x = $-5$ in $\sqrt{4x+29}$ $=$ $\sqrt{4\cdot \left(-5\right)+29}$ = $\sqrt{-20+29}$ = $\sqrt{9}$ = $3$

Rechte Seite: x = $-5$ in $\sqrt{2x+14}+1$ $=$ $\sqrt{2\cdot \left(-5\right)+14}+1$ = $\sqrt{-10+14}+1$ = $\sqrt{4}+1$ = $2+1$ = $3$

Also 3 = 3

x = $-5$ ist somit eine Lösung !

L={ $-7$; $-5$}