Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{12}{x}$ = $- 3 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{12}{x}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 12$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 12$	=	$- 3 x^{2}$

$- 12$	=	$- 3 x^{2}$	\| $+ 12$ $+ 3 x^{2}$
$3 x^{2}$	=	$12$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 5$ = $\frac{24}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 5$	=	$\frac{24}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 5 \cdot x$	=	$\frac{24}{x} \cdot x$
$x \cdot x + 5 x$	=	$24$
$x^{2} + 5 x$	=	$24$

x^{2} + 5 x

=

24

|

- 24

$x^{2} + 5 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5+11}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5-11}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16 x}{x - 3}$ = $- x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{16 x}{x - 3}$	=	$- x + 3$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{16 x}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$- x \cdot (x - 3) + 3 \cdot (x - 3)$
$16 x$	=	$- x (x - 3) + 3 x - 9$
$16 x$	=	$- x^{2} + 6 x - 9$

16 x

=

- x^{2} + 6 x - 9

|

+ x^{2}

- 6 x

+ 9

$x^{2} + 10 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10+8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10-8}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{72}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

=	$- \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{72}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{72}{x^{3}} \cdot x^{3}$
=	$- x^{2} + x + 72$

0

=

- x^{2} + x + 72

|

+ x^{2}

- x

- 72

$x^{2} - x - 72$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 72)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{1+17}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{1-17}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $9$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 98}{2 x - 2}$ = $- \frac{x}{4 x - 4} - 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

- \frac{98}{2 (x - 1)}

=

- \frac{x}{4 (x - 1)} - 4 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 1)$ weg!

$- \frac{98}{2 (x - 1)}$	=	$- \frac{x}{4 (x - 1)} - 4 x$	\|⋅( $4 (x - 1)$ )
$- \frac{98}{2 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1))$	=	$- \frac{x}{4 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1)) - 4 x \cdot (4 (x - 1))$
$- 196$	=	$- x - 16 x (x - 1)$
$- 196$	=	$- 16 x^{2} + 15 x$

- 196

=

- 16 x^{2} + 15 x

|

+ 16 x^{2}

- 15 x

$16 x^{2} - 15 x - 196$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 16 \cdot (- 196)}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 12 544}}{32}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{12 769}}{32}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{12 769}}{32}$ = $\frac{15+113}{32}$ = $\frac{128}{32}$ = $4$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{12 769}}{32}$ = $\frac{15-113}{32}$ = $\frac{- 98}{32}$ = $- \frac{49}{16}$ ≈ -3.06

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{49}{16}$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 8$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 8$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 8$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 8 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 8 x$
$x^{2} + a + 8 x$	=	0
$x^{2} + 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $- (2 - 10)$ = 8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 10)$ = $- 20$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -20 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

L={ $- 10$ ; $2$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 2} - \frac{3}{x - 2}$ = $\frac{30}{x^{2} - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $2$ }

\frac{x}{x + 2} - \frac{3}{x - 2}

=

\frac{30}{(x + 2) \cdot (x - 2)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 2) \cdot (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{x + 2} - \frac{3}{x - 2}$	=	$\frac{30}{(x + 2) \cdot (x - 2)}$	\|⋅( $(x + 2) \cdot (x - 2)$ )
$\frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2) - \frac{3}{x - 2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$	=	$\frac{30}{(x + 2) \cdot (x - 2)} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$
$x (x - 2) - 3 x - 6$	=	$30 \frac{x + 2}{x + 2}$
$x (x - 2) - 3 x - 6$	=	$30$
$x^{2} - 2 x - 3 x - 6$	=	$30$
$x^{2} - 5 x - 6$	=	$30$

x^{2} - 5 x - 6

=

30

|

- 30

$x^{2} - 5 x - 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5+13}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5-13}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter

42 Bruchgleichungen