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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 2 x - 16$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 2 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 320}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{324}}{10}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{324}}{10}$ = $\frac{2+18}{10}$ = $\frac{20}{10}$ = $2$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{324}}{10}$ = $\frac{2-18}{10}$ = $\frac{- 16}{10}$ = $- 1,6$

L={ $- 1,6$ ; $2$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 46 x + 9$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 46 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 46 \pm \sqrt{46^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 9}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 46 \pm \sqrt{2 116 - 180}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 46 \pm \sqrt{1 936}}{10}$

x₁ = $\frac{- 46 + \sqrt{1 936}}{10}$ = $\frac{- 46+44}{10}$ = $\frac{- 2}{10}$ = $- 0,2$

x₂ = $\frac{- 46 - \sqrt{1 936}}{10}$ = $\frac{- 46-44}{10}$ = $\frac{- 90}{10}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $- 0,2$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{2}{5} x + \frac{26}{25}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{2}{5} x + \frac{26}{25}$	=	0	\|⋅ 25
$25 (x^{2} + \frac{2}{5} x + \frac{26}{25})$	=	0

$25 x^{2} + 10 x + 26$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 26}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 2 600}}{50}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{(- 2 500)}}{50}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

L={}

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} + 2 x + 3$ = $(4 x - 2) (x + 9) - 32 x + 30$

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 2 x + 3$	=	$(4 x - 2) (x + 9) - 32 x + 30$
$5 x^{2} + 2 x + 3$	=	$4 x^{2} + 34 x - 18 - 32 x + 30$
$5 x^{2} + 2 x + 3$	=	$4 x^{2} + 2 x + 12$	\| $- 3$
$5 x^{2} + 2 x$	=	$4 x^{2} + 2 x + 9$	\| $- 4 x^{2}$ $- 2 x$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 8 x + 16$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

L={ $4$ }

$4$ ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( $4$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $- 2 x^{2} - 5 x + 8$
und
$g(x) =$ $- 3 x^{2} - x + 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 2 x^{2} - 5 x + 8

=

- 3 x^{2} - x + 4

|

+ 3 x^{2}

+ x

- 4

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $2$ ) = $- 3 \cdot 2^{2} - 2 + 4$ = $- 3 \cdot 4 - 2 + 4$ = $- 12 - 2 + 4$ = $- 10$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $2$ | $- 10$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} + 9$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $- 3$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $- 1$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $- x - 3$ oder $f(x) =$ $- x - 3$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- x - 3

=

- x^{2} + 9

|

+ x^{2}

- 9

$x^{2} - x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $4$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $- {(- 3)}^{2} + 9$ = $- 9 + 9$ = 0

g( $4$ ) = $- 4^{2} + 9$ = $- 16 + 9$ = $- 7$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ |0) und S₂( $4$ | $- 7$ ).

Aufgabenbeispiele von Mitternachtsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)