$\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}$
= $\sqrt{\frac{32}{2}}$
= $\sqrt{16}$
= 4

$\frac{\sqrt{\frac{1}{3}}}{\sqrt{\frac{1}{3}}}$
= $\sqrt{\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}}$
= $\sqrt{\frac{1}{3}·3}$
= $\sqrt{1·1}$
= $\sqrt{1}$
= $1$

$\sqrt{5}·\left(\sqrt{5}+\sqrt{20}\right)$
= $\sqrt{5}·\sqrt{5}+\sqrt{5}·\sqrt{20}$
= $5+\sqrt{5}·\sqrt{5·4}$
= $5+\sqrt{5}·\sqrt{5}·\sqrt{4}$
= $5+5·2$
= $5+10$
= $15$

Nach der 2. binomischen Formel ((a-b)²=a²-2ab+b²) gilt:

${\left(\sqrt{2}-\sqrt{8}\right)}^2$ = ${\left(\sqrt{2}\right)}^2-2·\sqrt{2}·\sqrt{8}+{\left(\sqrt{8}\right)}^2$
= $2-2·\sqrt{2}·\sqrt{2·4}+8$
= $2-2·\sqrt{2}·\sqrt{2}·\sqrt{4}+8$
= $2-2·2·2+8$
= $2-8+8$
= $2$

$\sqrt{2x}·\sqrt{18x}$
= $\sqrt{2}·\sqrt{x}·\sqrt{18}·\sqrt{x}$
= $\sqrt{2}·\sqrt{18}·\sqrt{x}·\sqrt{x}$
= $\sqrt{2}·\sqrt{2·9}·x$
= $\sqrt{2}·\sqrt{2}·\sqrt{9}·x$
= $2·3·x$
= $6x$

$\sqrt{64+1+16}$
= $\sqrt{81}$
= $9$

Man kann hier gut erkennen, dass man aus Summen nicht die Wurzeln aus den Summanden ziehen darf,
denn $\sqrt{64}$ + $\sqrt{1}$ + $\sqrt{16}$ = $8$ + $1$ + $4$ = 13 ist ja deutlich mehr als das richtige Ergebnis $9$.