Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(2 u - v)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

anwenden kann.

also ${(2 u - v)}^{2}$ = ${(2 u)}^{2} - 2 \cdot 2 u \cdot v + {(v)}^{2}$ = $4 u^{2} - 4 u v + v^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $36 x^{2} - 84 x + 49$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $- 84 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( $- 84 x$ ) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $36 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $49$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $6 x$ und für b dann $7$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $- 84 x$ = -2⋅ $6 x$ ⋅ $7$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(6 x - 7)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(6 x - 7)}^{2}$ = $6 x \cdot 6 x + 6 x \cdot (- 7) - 7 \cdot 6 x - 7 \cdot (- 7)$ = $36 x^{2} - 84 x + 49$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- x^{2} - 6 x - 9$

$- x^{2} - 6 x - 9$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 1$ aus.

$- (x^{2} + 6 x + 9)$

Durch Anwendung der 1. binomischen Formel erhalten wir:

$- {(x + 3)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 9$

Der hintere Term $9$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $9$ = 3⋅3 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=3

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅3

somit gilt: ☐= $6 x$